<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Rsolution numrique de l'quation \( f ( x ) = 0 \)} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS3}{III  Mthode de point fixe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> III-6  Test d'arrt</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Introduction}

\link{mainS2}{II  Mthode de dichotomie}

<div class="left_selection">\link{mainS3}{III  Mthode de point fixe}</div>

\link{mainS4}{IV  Mthode de Newton}

\link{mainS5}{V  Mthode de Lagrange}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">

Comme nous avons expliqu dans l'introduction, la suite \( (x_n) \) converge vers un rel \( \alpha \) vrifiant \( g(\alpha) = \alpha \). En fixant la tolrance \( \varepsilon \) 
on estime qu'on atteint la prcision  \( \varepsilon \) ds qu'il existe 
\( n_0 \in \mathbb N  \) tel que: 

<div class="math">\(
\displaystyle |x_{n_0+1}-x_{n_0}|<\varepsilon 
\)</div>

\noindent Nanmoins, la situation devient plus concrte lorsque \( g' \)
est ngative au voisinage  de \( \alpha  \). En effet:

<h2 class="thm">Proposition</h2><div class="thm">
Soit \( \displaystyle g: \left[ a, \; b \right] \longrightarrow \left[ a, \; b \right] \) de
classe \( \mathcal{ C}^1  \). On suppose que \( g \) admet un unique point fixe \( \alpha
\in \left[ a, \; b \right] \) vrifiant  \( -1 < g'(x)<0  \) pour tout \( x \)
dans un intervalle de convergence \( V_{\alpha} \) de \( \alpha  \). Soit la suite
\( \left(x_n \right) \) dfinie par:

<div class="math">\(
\displaystyle \left\{
\begin{matrix}  
x_0 \in V_{\alpha} & \\ 
x_{n+1} = g(x_n) ;& \;  \forall \; n \geq 0
\end{matrix}  
\right.
\)</div> 

\noindent  Alors:
<div class="math">\(\forall n \in \mathbb N, \; \left| x_{n+1} - \alpha
\right|  \leq \left| x_{n+1} - x_n \right| \)</div>

\noindent Par consquent, soit \( n_0 \) tel que \( \left| x_{n_0} - \alpha
\right| < \varepsilon , \) alors \( x_{n_0} \) approche \( \alpha \) 
\( \varepsilon \) prs.

</div>




\fold{mainS3S6F_preu1}{<span class="preu">Preuve</span>

}

</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS3S1}{III-1  Principe}

\link{mainS3S2}{III-2  Point attractif}

\link{mainS3S3}{III-3  Point rpulsif}

\link{mainS3S4}{III-4  Point douteux}

\link{mainS3S5}{III-5  Ordre de convergence}

<div class="right_selection">\link{mainS3S6}{III-6  Test d'arrt}</div>
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>