<div class="preu">    
L'existence de \( V_{\alpha} \) de \( \alpha \) est assure par le thorme de 
convergence pour un point attractif. La formule de Taylor applique 
 la fonction \( g \) au point \( \alpha \)  l'ordre \( m \) donne: il existe un rel \( c_n \) dans l'intervalle \( (x_n, \; \alpha) \) 
<div class="math">\(
\begin{matrix} 
x_{n+1} = & g(\alpha) + g'(\alpha) \left( x_n - \alpha \right) + \cdots
+ \displaystyle \frac {g^{\left( m-1 \right)}(\alpha)}{\left(m-1 \right)\!} \left(
x_n - \alpha \right)^{m-1} +  \\
& \displaystyle \frac {g^{\left( m \right)}(c_n)}{\left(m \right)\!} \left(
x_n - \alpha \right)^{m} 
\end{matrix} 
\)</div> 
\noindent En raison des hypothses faites sur \( g, \) on obtient:
<div class="math">\(
\displaystyle x_{n+1} = \alpha +   \displaystyle \frac {g^{\left( m \right)}(c_n)}{\left(m \right)!} \left(
x_n - \alpha \right)^{m}
\)</div>
\noindent Enfin, 
<div class="math">\(
\displaystyle \lim_{n \longrightarrow  +\infty}  \frac {\left|  x_{n+1} - \alpha\right|}{\left|
x_n - \alpha \right|^{m}} = \lim_{n \longrightarrow  +\infty} \displaystyle \frac {g^{\left( m
    \right)}\left(c_n \right)}{m!}  =  \displaystyle \frac {g^{\left( m
    \right)}\left(\alpha \right)}{m!} < +\infty 
\)</div>
\noindent et 
<div class="math">\(
\displaystyle \lim_{n \longrightarrow  +\infty} \frac {\left|  x_{n+1} - \alpha\right|}{\left|
x_n - \alpha \right|^{m+1}} = \displaystyle \lim_{n \longrightarrow  +\infty} \frac {g^{\left( m \right)} \left(c_n
  \right)}{m! \; \left| x_n -\alpha \right|} =  + \infty 
\)</div>
</div> 