Soit \(B) une base orthonorme directe de \(\vec E) et \( \vec f ) une isomtrie de 
\( \vec E ) de matrice \(A) dans \(B).
<ul><li> La matrice \(A) est orthogonale.
</li>
</ul>
\exercise{module=U2/geometry/oefgeomeucl.fr&cmd=new&exo=rotation2}{Exercice 1} : Dterminer une matrice orthogonale.
<ul>
<li>L'isomtrie \( \vec f ) est une symtrie si et seulement si \(A) est une matrice symtrique. \fold{}{Pourquoi ?}{<div id="ccc">En effet, si \(A) est la matrice d'une symtrie orthogonale dans une base orthonorme, elle vrifie \(A^{-1} = A) et comme elle est orthogonale, elle vrifie aussi \(A^{-1} =  {}^t\!A), dans \(A) est symtrique.</div>}
<p> Dans ce cas :
<ul>
<li>  \( \vec f ) est \({\rm Id}) (resp. \(-{\rm Id})) si et seulement si \(A) est \({\rm I}_n) (resp. \(-{\rm I}_n))</li>
<li>si \({\rm Tr}(A)) vaut -1, \( \vec f ) est un \link{symvect}{demi-tour}</li>
<li>si \({\rm Tr}(A)) vaut 1, \( \vec f ) est une \link{symvect}{rflexion}</li></ul>

<li> Si \( \vec f ) n'est pas une symtrie, \( \vec f ) admet la valeur propre \(1) si elle est positive (c'est une rotation), \(-1) si elle est ngative (c'est une antirotation).
 On oriente l'axe de \(\vec f) en choisissant un vecteur propre unitaire \( \vec e_1 ) relatif  la valeur propre \( \lambda = \pm 1).   L'angle
\( \theta ) est alors entirement dtermin par les remarques suivantes :
<ol>
<li> on a \( \lambda + 2 \cos \theta = {\rm Tr}\, \vec f )</li>

<li>le signe de \( \sin \theta ) est le signe de \( \det_B
(\vec e_1, \vec u, \vec f(\vec u)) ) o \( \vec u ) est un vecteur quelconque non
colinaire  \( \vec e_1 ).</li></ol></li></ul>

\exercise{module=U2/geometry/oefgeomeucl.fr&cmd=new&exo=isometriebis}{Exercice 2 } : Reconnatre un demi-tour, une rflexion, une rotation, une antirotation sur sa matrice.<br>
\exercise{module=U2/geometry/oefgeomeucl.fr&cmd=new&exo=rotation}{Exercice 3} : Etude d'une rotation donne par sa matrice.<br>
\exercise{module=U2/geometry/oefgeomeucl.fr&cmd=new&exo=rotationanti}{Exercice 4} :  Dterminer les lments caractristiques d'une rotation ou d'une antirotation.