<div id="thm">
<b> Thorme :</b> Les dplacements de \( E ) sont : 
<ul><li> l'identit,</li><li>
les translations \( t_{\vec v} ) de vecteur non nul,
</li><li> les rotations 
\( \rho(D,\vec e,\theta) )
d'angle non nul 
</li><li>les vissages \( \rho(D,\vec e,\theta)\; t_{\vec v} = 
t_{\vec v}\;  \rho(D,\vec
e,\theta)
 ) avec
\( \theta \neq 0 ) et \( \vec v \in \vec D ), \( \vec v \neq \vec 0 )</li></ul></div>

<i> Dmonstration : </i>  Soit \( f ) un dplacement et \( \vec f ) l'application linaire 
associe. En vertu de la\link{listevect}{liste des isomtries vectorielles},  \( \vec f ) est une rotation vectorielle d'angle \( \theta \in \RR /2\pi \ZZ). Si \( \theta  ) est nul,
\( \vec f ) est l'identit, donc \( f ) est une translation ou 
l'identit.
Sinon, comme \( \vec f ) admet la valeur propre 1, il y a deux cas :
<ol><li>
L'application \( f ) a un point fixe  : dans ce cas elle  a toute une 
droite de points fixes et c'est une \link{rotationaffine}
{rotation},</li><li>
L'application \( f ) n'a pas de point fixe  : dans ce cas, elle s'crit comme 
compose d'une rotation et d'une
translation de vecteur non nul (appartenant  la direction de l'axe de la rotation) qui commutent d'aprs le \link{decomposition}{thorme de dcomposition}. C'est alors un
\link{vissage}{vissage}.
</li></ol>