\def{real x=random(1,-1)*randint(3..20)/10}
\def{real xx=sqrt(4-(\x)^2)}
\def{real y=randint(-10*\xx..10*\xx)/10}
\def{real  ab=sqrt((4-(\x)^2-(\y)^2)/((\x)^2+(\y)^2))/2}
\def{real  a=(\x)/2+(\y)*(\ab)}
\def{real  b=(\y)/2-(\x)*(\ab)}
\def{real angle2=acos(sqrt((\x)^2+(\y)^2)/2)/2}
\def{real angle1= pari(print(arg(\x+I*(\y))-2*(\angle2)))
}
\def{real u=randint(1..5)*random(1,-1)}
\def{text f=\x+3*t+t^2}
\def{text g= \y+2*t}
\def{function derx=diff(\f,t)}
\def{real  derx=evalue(\derx,t=0)}
\def{function dery=diff(\g,t)}
\def{real  dery=evalue(\dery,t=0)}
\def{real w=3}
\def{real norm=\w*sqrt((\derx)^2+(\dery)^2)}
\def{real derx=\derx/\norm}
\def{real dery=\dery/\norm}
\def{real proj1= -\derx*(\y-(\b))/2+\dery*(\x-(\a))/2}
\def{real norm1=sqrt( (\y-(\b))^2+(\x-(\a))^2)/2}
<table align="center"><tr><td >
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}
\def{text A=draw(250,250
xrange -2.1,2.1
yrange -2.1,2.1
trange 0,2*pi
plot grey, cos(t), sin(t)
trange -1,1
plot yellow, \f,\g
arrow \x,\y,\x-(\y-(\b))/2,\y+(\x-(\a))/2, 10,black
linewidth 3
disk 0,0,8, orange
disk \a,\b,8, blue
disk \x,\y,8, red
text black, \x*1.2,\y*(1.2),medium, M 
text black, \a/2*1.3,\b/2*1.3,medium, T
text black, (\x+\a)/2*1.3,(\y+\b)/2*1.3, medium, S
text black, 0,0,medium, O
text black,\a*1.2,\b*1.2,medium, A
lines green, 0,0,\a,\b,\x,\y
line (2*(\a)+(\x))/3-(\y-(\b))/10,(2*(\b)+(\y))/3+(\x-(\a))/10,(2*(\a)+(\x))/3+(\y-(\b))/10,(2*(\b)+(\y))/3-(\x-(\a))/10,red
)}
<img src=\A>
</td><td>
D'abord, pour un point \(M) atteignable par le planimtre, il n'y a une seule position possible pour que l'extrmit  mobile soit en \(M)  condition d'imposer que l'angle entre les deux bras \(T) et \(S) soit infrieur   \(\pi). 


\fold{}{Par le calcul}{ <div class="aide"> Par le calcul :

 Si \(M=(x,y)\ ), le point \(A) de l'articulation est de coordonnes 
<center>\(\Large \left\lbrace \begin{matrix}
a&=& \frac{x}{2} +\frac{y}{2} \sqrt{\frac{4r^2-(x^2+y^2)
}{x^2+y^2}
}\\
b&=& \frac{y}{2} -\frac{x}{2} \sqrt{\frac{4r^2-(x^2+y^2)
}{x^2+y^2}
}
\end{matrix} \right .)

</center>
avec \(r) la longueur des deux bras.</div> }

On introduit le champ de vecteurs  \(F) qui associe en chaque point  \(M) du plan atteint par l'extrmit  \(M) du planimtre le vecteur unitaire perpendiculaire au bras  \(S) et tel que  \((\vec{AM}, F(M))) est direct. 

</td></tr></table> 

<div class="thm"><span class="thm">Thorme : </span>L'intgrale curviligne du champ \(F) le long d'une courbe \(C) est  proportionnelle au nombre de tours que fait la roue lorsque la pointe se dplace le long de la courbe. 

<a name="dem">
<table><tr><td>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}{dem}
\draw{200,200}
{xrange \x-1,\x+1
yrange \y-1, \y+1
trange 0,2*pi
plot grey, cos(t), sin(t)
trange -1,1
plot yellow, \x+3*t+t^2, \y+2*t
arrow \x,\y,\x-(\y-(\b))/2,\y+(\x-(\a))/2, 10,black
arrow \x,\y, \x+\derx,\y+\dery,10, black
linewidth 1
dline \x+\derx,\y+\dery,\x-(\proj1)*(\y-(\b))/(\norm1)^2/2, \y+(\proj1)*(\x-(\a))/(\norm1)^2/2, purple
linewidth 3
disk 0,0,8, orange
disk \a,\b,8, blue
disk \x,\y,8, red
text black, \x*1.2,\y*(1.2),medium, dM 
text black, \a/2*1.3,\b/2*1.3,medium, T
text black, (\x+\a)/2*1.3,(\y+\b)/2*1.3, medium, S
text black, 0,0,medium, O
text black,\a*1.2,\b*1.2,medium, A
lines green, 0,0,\a,\b,\x,\y
line (2*(\a)+(\x))/3-(\y-(\b))/10,(2*(\b)+(\y))/3+(\x-(\a))/10,(2*(\a)+(\x))/3+(\y-(\b))/10,(2*(\b)+(\y))/3-(\x-(\a))/10,red}</td><td>
\fold{}{Pour  s'en persuader :}{ <div class="dem"> Lorsque   \(M) se dplace dans la direction du bras   \(S), comme l'axe de la roue est \(S),la roue ne tourne pas. 
Par contre lorsque   \(M) se dplace perpendiculairement au bras \(S), le nombre de tours de la roue est proportionnel  la longueur qu'elle parcourt. En gnral, le nombre de tours dans un dplacement \(\vec{dM}) est proportionnel au produit scalaire du dplacement \(\vec{dM})  avec 
 \(F(M)), qui est aussi la longueur algbrique de la projection de \(\vec{dM}) sur \(F(M)). Ainsi, si la pointe  \(M) dcrit une courbe \(C), le nombre de tours est proportionnel  l'intgrale curviligne de 
 \(F) le long de la  courbe  \( C).
</div>
}
</td></tr></table>
</div>

Ainsi, on dsire relier une intgrale curviligne et une aire. Le thorme de Green est fait pour a. 