<div class="dem1">Par le <a name="accfinis"></a>\fold{accfinis}{thorme des accroissements finis} appliqu  l'intervalle  \([t_{i-1},{t_i}]) et
 la fonction  \(\gamma), on a 

<center>\( \gamma(t_i)- \gamma(t_{i+1})= \gamma'(c_i) )</center> avec 
 \(c_i) appartenant  l'intervalle  \([t_{i-1},{t_i}]). 

Donc la longueur de la corde joignant les points  \(P_{i-1} ) et  \(P_{i}) qui 
est gale  la norme de  \(\gamma(t_i)- \gamma(t_{i+1})) , vaut aussi  \(|| \gamma'(c_i)||) pour
 \(c_i) compris entre  \(t_{i-1}) et  \(t_i). 
 Ainsi,
<center>\( ||P_{i-1}P_{i}|| =|| \gamma'(c_i)||) </center>
</div>

<div class="dem2">Nous allons maintenant utiliser la proprit que  \(\gamma') est une fonction continue
sur un intervalle ferm  born. Elle vrifie alors une proprit plus prcise : 
Elle est
<a name="unifcont"></a> \fold{unifcont}{<span class="aide">uniformment
continue  </span>}
ce qui permet ici d'affirmer qu'il existe un entier  \(N >0), tel que pour   \(n>N) et 
 \(|t-t'| < (b-a)/ n ), on a  \(|| \gamma'(t)-\gamma'(t')|| < \varepsilon)
<center>\( \forall \varepsilon , \exists \delta> 0 , |t-t'| < \delta \Rightarrow || \gamma'(t)-\gamma'(t')||\leq \varepsilon )</center>
Prenons  \(n >N), deux paramtres conscutifs de la subdivision vrifient alors 
 \(|t_i-t_{i-1}|  < (b-a)/n). 
Donc si \(t\in [t_i,t_{i-1}] ), on peut appliquer la proprit   \(t) et  \(c_i) : 

<center>\( || \gamma'(t)-\gamma'(c_i)|| <\varepsilon ).</center>

En intgrant sur l'intervalle \([t_i,t_{i-1}]), on obtient
 \(\int_{t_{i-1}}^{t_i} || \gamma'(t)-\gamma'(c_i)|| dt  \leq \varepsilon (t_i-t_{i-1})).
En  appliquant l'ingalit triangulaire  \(|| u||-||v|| \leq ||u-v||) , on obtient que 
<center>\( \int_{t_{i-1}}^{t_i} || \gamma'(t)||-||\gamma'(c_i)|| dt \leq  \int_{t_{i-1}}^{t_i} || \gamma'(t)-\gamma'(c_i)|| dt )\( \leq \varepsilon (t_i-t_{i-1})) 
</center>
Puis en faisant la somme sur \(i),  

<center>\((\int_a^b || \gamma'(t)|| )- L( \gamma_{t_0, ... t_n}) \leq \varepsilon (b-a))
</center>

</div> 
