<div class="dem">

Posons \(u=z/R). On a
<center>\(g(z)=(1+u)^(-2)GM/R^2)</center> 
Le dveloppement limit de \((1+u)^(-2))  l'ordre 2 est 
<center> \((1+u)^(-2)= 1-2u+3u^2 +o(u^2))</center>
Une expression approche \(g_(app)) de \(g) est 
<center>\( g_(app)(z)= g_0(1-2(z/R)+3(z/R)^2 ) ) </center>
Quelle erreur a-t-on fait ?  Grossirement, on peut dire qu'elle est de l'ordre de \((z/R)^3).  Soyons prcis. Montrons que  si \(f(u)=(1+u)^(-2)) et si   \(u>0) , 
<center> \(| (1+u)^{-2}-(1-2u+3u^2)| \leq  4 u^3)
</center>
\fold{gravprecis}{<span class="dem1"> Preuve </span>}

En revenant  notre problme initial, pour \(0\leq z<R) 
<center>\(\frac{|g(z)-g_{app}(z)|}{g_0} \leq 4 (z/R)^3)
</center>
\def{real r=randint(2..20)/1000}
\def{real r1=100*\r}
\def{real R= 6.38*10^3}
\def{real herr=rint((\r/4)^(1/3)*\R)+1}
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}
Si l'on considre l'approximation satisfaisante lorsque l'erreur relative est infrieure  \r1%, l'altitude maximum admissible est  \(h) vrifiant
\(4(h/R)^3 <\r) c'est--dire 
\(h < (\r/4)^(1/3)*R<\herr) km
 avec le rayon de la terre \(R) gal   \R km. 
</div>