<div class="enum_item">S'il existe \( i_0 \) tel que \( a_{i_0,i_0}\not = 0 \) : pour fixer les ides, 
supposons que \( a_{1,1}\not = 0. \)

<b><font color="red">Le principe est de regrouper tous les termes contenant \( x_{1} \) et 
faire apparatre un dbut de carr.</font></b>  
<div class="math">\( q(x)=a_{1,1}x^2_1+2\sum^n_{j=2}a_{1,j}x_1x_j+\sum^n_{i=2}a_{i,i}x^2_i+2\sum_{2\leq i<j\leq n}a_{i,j}x_ix_j.\)</div>


Notons  \(  q_1(x_2,\cdots , x_n)=\sum^n_{i=2}a_{i,i}x^2_i+2\sum_{2\leq i<j\leq n}a_{i,j}x_ix_j. \) Remarquons que c'est une forme quadratique en \( x_2,\cdots ,x_n \).

On a
<p class="math">\(\begin{matrix} 
\\ q(x) &=&a_{1,1}\left(x^2_1+{2\over a_{1,1}}\sum^n_{j=2}a_{1,j}x_1x_j\right)+q_1(x_2,\cdots ,x_n)

\\
&=& a_{1,1}\left(x_1+\sum^n_{j=2}{a_{1,j}x_j\over a_{1,1}}\right)^2\\
&&
-{1\over a_{1,1}}\left(\sum^n_{j=2}a_{1,j}x_j\right)^2+q_1(x_2,\cdots, x_n).
\end{matrix} \)</p>

Soit alors \( \\a_1=a_{1,1} \) et \( \ell_1:(x_1,\cdots, x_n)\mapsto 
x_1+\sum^n_{j=2}{a_{1,j}x_j\over a_{1,1}} \).

<div class="math">\( q_2:(x_2,\cdots,x_n)\mapsto q_1(x_2,\cdots,x_n)-{1\over a_{1,1}}\left(\sum^n_{j=2}a_{1,j}x_j\right)^2\)</div> 
est une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension \( n - 1 \), 
on lui applique alors l'hypothse de rcurrence. 
Les formes linaires rcupres en utilisant l'hypothse de rcurrence 
sont ncessairement libres avec \( \ell_1 \) vu qu'elles n'ont pas de composantes suivant \( x_1 \).

</div>

