<div class="dem"><ul><li>
Fixons deux entiers \(i) et \(j). A une matrice  \(B=(b_(ij))) de \(M_(n-1)(K)), 
on attache la matrice 
\(B(i,j)) obtenue en rajoutant une colonne  la place \(i) et une ligne  la place \(j) formes de 0
sauf  leur intersection o l'on met 1 : 
\def{integer n=randint(3..5)}
\def{matrix B1=}
\def{integer i=randint(1..\n)}
\def{integer j=randint(1..\n)}
\for{k=1 to \n}{
\def{integer k1= \k<\i ? \k: \k-1}
\if{\k<>\i}{
\def{matrix B1=\j>1 and \j<\n ?\B1
wims(makelist  b_ {\k1 i } for i=1 to \j-1),0,wims(makelist  b_ {\k1 i } for i=\j to \n-1)
}
\def{matrix B1=\j=1  ?\B1
0,wims(makelist  b_ { \k1 i} for i=1 to \n-1)
}
\def{matrix B1=\j=\n ?\B1
wims(makelist  b_ {\k1 i} for i=1 to \n-1),0
}
}{
\def{text ligne = wims(values 0 for i=1 to \n)}
\def{text ligne = wims(replace internal item number \j by 1 in \ligne)}
\def{matrix B1=\B1
\ligne}}}
\def{text B1_tex=slib(text/matrixtex [\B1],,)}
<div class="aide"> Par exemple 
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}: 
<center> \(B(\i,\j)=\B1_tex)</center>
</div>
\def{integer j1=\j-1}
\def{integer n1=\n-1}
\def{matrix Id1=}
\def{matrix Id=pari(matid(\n-1))}
\for{k=1 to \n}{
\def{integer k1= \k<\i ? \k: \k-1}
\if{\k<>\i}{
\def{matrix Id1=\j>1 and \j<\n ?\Id1
\Id[\k1; 1..\j1],0,\Id[\k1; \j..\n1]
}
\def{matrix Id1=\j=1  ?\Id1
0,\Id[\k1; 1..\n1]
}
\def{matrix Id1=\j=\n ?\Id1
\Id[\k1; 1..\n1], 0
}
}{
\def{text ligne = wims(values 0 for i=1 to \n)}
\def{text ligne = wims(replace internal item number \j by 1 in \ligne)}
\def{matrix Id1=\Id1
\ligne}}}
\def{text Id1_tex=slib(text/matrixtex [\Id1],,)}


La fonction \(B ) \to \((-1)^(i+j) ) <font color=green><b>det</b></font> \(B(i,j)) satisfait toutes les proprits 
pour le dterminant sur \(M_(n-1)(K)) et lui est donc \fold{.}{gale.}{gale : pour \(D_1) et \((D_2)), faites-le !  le signe garantit 
la condition  pour  \((D_3)), car d'aprs \((D_1)), si on part de la matrice
\( Id(i,j)),  aprs \(|i-j|) changes de colonnes voisines, 
le coefficient \(1) arrive sur la diagonale et le signe est devenu 1. <div class="aide">
Le faire par exemple pour
<center>Id(\i,\j)=\(\Id1_tex)</center>
</div>}
</li><li>
Par \((D_1)) et \((D_3)) (voir \link{regle}{consquences immdiates}), <font color=green><b>det</b></font>\(B(i,j))) ne change pas si on met n'importe quel coefficient
  la \(i)-ime ligne hors la
\(j)-ime colonne. 
</li><li>
Si la fonction <font color=blue><b>det</b></font> existe pour \(M_(n,n)(K)), on trouve par \((D_1)) la formule pour tout 
indice de ligne \(i) entre 
1 et \(n) : 

<center><font color=blue><b>det</b></font> \(A =) \(\sum_{j=1}^n)\( (-1)^(i+j)a_(ij))<font color=green><b>det</b></font> \(A_(ij)).
</center>
o \(A_(ij)) est la matrice extraite, c'est--dire la matrice \(A) prive de sa \(i)-ime 
ligne et de sa \(j)-ime colonne. 
Le membre de droite est fait avec des dterminants d'ordre \(n-1) dont on sait qu'ils existent
et sont uniques par hypothse de rcurrence. Cela dmontre l'unicit de  <font color=blue><b>det</b></font> sur \(M_(n,n)(K)). 
</li></ul>
</div>