Les proprits suivantes se dduisent de la dfinition
et des proprits du dterminant : 

<ul>
</li><li> 
Soit \( i ) un entier entre 1 et \( n-1 ). L'application 
\( v_i \mapsto v_1 \wedge...\wedge v_{n-1}  ) est linaire : 

 
<p align="center">\(v_1 \wedge...\wedge v_i +v'_i \wedge ...\wedge v_{n-1} = 
 v_1 \wedge...\wedge v_i \wedge ...\wedge v_{n-1}
 +
 v_1 \wedge...\wedge v'_i \wedge ...\wedge v_{n-1}
 )</p>

<div class="defn">
\fold{}{<span class="defn">Dfinition</span> }{
<span class="defn">Dfinition</span> :  On dit que \( (v_1,...,v_{n-1} \mapsto v_1 \wedge...\wedge v_{n-1} ))
 est une <span class="definition">forme  \( n-1 )-linaire</span>. 
}</div>
 </li><li> 
<p align="center">\(v_1 \wedge...\wedge v_i \wedge ... \wedge v_j \wedge ...\wedge v_{n-1} = 
 - v_1 \wedge...\wedge v_j \wedge ... \wedge v_i \wedge ...\wedge v_{n-1})</p>
<div class="defn">
\fold{}{<span class="defn">Dfinition</span> }{
<span class="defn">Dfinition</span> :  On dit que \( (v_1,...,v_{n-1} \mapsto v_1 \wedge...\wedge v_{n-1} ))
 est une <span class="definition">forme  \( n-1 )-linaire alterne</span>. 
}
 </div>
 
 </li><li> \( v_1 \wedge...\wedge v_{n-1} ) est perpendiculaire  chacun des vecteurs 
 \( v_j )
 <div class="dem">
 \fold{}{<span class="dem">Dmonstration</span> :}{<span class="dem">Dmonstration</span> :
<p align="center">\(v_1 \wedge...\wedge v_{n-1} \cdot v_j = \det( v_1,...,v_{n-1},v_j))</p>

 ce qui est nul par la proprit <font color="brown">\((D2'))</font> du dterminant 
 }
 </div>
 </li>
 <li> Le calcul des composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en dimension 3 est
 une consquence de la formule de dveloppement par rapport  la dernire colonne : 
 Si \(w) est de composantes \((w_1,..., w_n)) dans la base \({\mathcal B}_0) et si 
 \( A ) est la matrice des vecteurs colonnes de \( v_1,...v(n-1) ) dans la base \({\mathcal B}_0), 
 on a 
 \( v_1 \wedge...\wedge v_{n-1} \wedge w = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} \det( A^{(i)}) w_i )
 o \( A^{(i)} ) 
 la matrice obtenue  partir de \( A ) en enlevant la \( i )-ime ligne. 
 
 </li><li> Si les vecteurs \( (v_1,...,v_{n-1}) ) sont linairement indpendants, 
 \( v_1 \wedge...\wedge v_{n-1} ) est non nul et la famille de vecteurs 
 <p align="center">\( (v_1 ,..., v_{n-1} , v_1 \wedge...\wedge v_{n-1}) )</p>
 forment une base \fold{}{directe}{directe : le dterminant de ces vecteurs 
 dans la base \({\mathcal B}_0) est strictement positif}.
</li>
 </ul>
 </div> 
 
 
 <div class="exercice"><span class="exercice">Exercice</span> : Retrouver toutes les proprits du produit vectoriel que vous connaissez
 en dimension 3 comme consquences des proprits du dterminant.
 </div>
 