<div class="dem"> Soit \(r) le pgcd de \(a) et \(b) . On pose \(a = ra_1), 
\(b = rb_1) avec \(a_1) et \(b_1) premiers entre eux. 

Si \((x , y , z)) est une solution de l'quation, on a 
<p> <center>\( cz ) \equiv \(d) mod \(r) .</center></p> 
Comme \(r) et \(c) sont premiers entre eux, il existe un entier \(u) tel que
\(uc) \equiv 1 mod \(r) et la congruence est quivalente  
<p> <center>\(z) \equiv \(u d ) mod \(r)</center></p>

Ainsi, si on choisit \(u_1) un reprsentant de \(ud) mod \(r) , on a 
 <p> <center>\( u_1c) \equiv \(ucd) \equiv \(d) mod \(r)</center></p>
 et
 <p> <center>\(z = u_1 + rz_1 )</center></p> avec \(z_1) \in \ZZ.
 
 On pose \( d - u_1*c = d_1r ) avec \( d_1) \in \ZZ. 
L'quation devient
<p> <center>\(r *a_1x + r*b_1y + r*cz_1 = d - u_1*c)</center></p>
c'est--dire
<p> <center>\(a_1x + b_1y + cz_1 = d_1)</center></p>
avec maintenant \(a_1) et \(b_1) premiers entre eux. 
</div>