Revenons sur les systmes linaires en utilisant les notions d'algbre
linaire :
 l'ensemble des solutions d'un systme linaire homogne
n'est jamais vide (il contient le \(n)-uplet nul), est stable par
addtion et par multiplication par un scalaire.
Nous pouvons dire maintenant que <div class="thm">l'ensemble des solutions
d'un systme linaire homogne
est un sous-espace vectoriel de  \(\RR^n).</div>

Remarquons aussi que chaque quation du
systme dfinit un sous-espace vectoriel ; notons  \(F_{i}) le sous-espace
vectoriel (c'est un hyperplan vectoriel) de
 \(\RR^n) dfini par la \(i)-ime quation :
<center>\( a_{i,1}x_{1}+a_{i,2}x_{2}+\dots+a_{i,n}x_{n}=0. )</center>
L'ensemble des solutions du systme linaire homogne est
l'intersection des sous-espaces vectoriels  \(F_{i}) ( \(1\leq i \leq p)).

On a vu que l'ensemble des solutions d'un systme linaire homogne
dpendait de  \(n-r) paramtres. Nous pouvons dire maintenant qu'il est
engendr par  \(n-r) solutions particulires.

L'ensemble des solutions d'un systme linaire qui se prsente comme
la somme d'une solution particulire et du sous-espace vectoriel
 \(\mathcal {S}_{0}), ensemble des solutions d'un systme linaire homogne
associ est appel sous-espace affine.